Formation Python
Lycée Saint-Denis - Annonay
Atelier Variables Aléatoires

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Règles du jeu

Deux joueurs s'affrontent dans un jeu vidéo. Un joueur marque +1 s'il gagne une partie, -1 s'il perd. Le vainqueur est celui qui arrive le premier à 5.
On suppose qu'à chaque partie, le joueur A possède trois chances sur cinq de gagner.
Le déroulement du jeu peut être assimilé au déplacement aléatoire d'un pion sur un axe vertical : au départ, le pion est à l'origine ; si A gagne, le pion monte d'un cran, si B gagne, il descend d'un cran.

Objectifs

Simuler le déroulement d'un duel.
Estimer la probabilité que le joueur A gagne.

1) Exemple de marche aléatoire

Le graphique ci-dessous représente une marche aléatoire associé à un duel.

Question 1 : Qui a gagné le duel dans cet exemple ? Après combien de parties ?

Question 2 : Quel est le nombre de parties gagnées par A ?

Question 3 : Combien de fois le pion est-il passé par l'origine ? Interprétez ces éventualités.

2) Nombres de parties jouées

On note N la variable aléatoire qui indique le nombre de parties jouées jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.

Question 4 : Quelle est la plus petite valeur que N peut prendre ?

Question 5 : Justifiez que N peut prendre une infinité de valeurs.

3) Algorithme de simulation du jeu

from turtle import *
from numpy.random import *

def duel():
    h = randint(1, 6) # tirage aleatoire d'un entier entre 1 et 5
    y = 0
    N = 0
    
    goto(-100, 0)
    
    while .................:
        h = randint(1, 6) 
        if .........:
            y = y + 1
        else:
            y = ..........
        N = N + 1
        goto(N*10-100, y*10)
    
    write(N)
    up()
    goto(-100 ,0)
    down()
    
    return y
    
done()

Voici un programme écrit en langage python, à compléter, permettant de représenter un duel et d'indiquer le nombre de parties nécessaires pour obtenir un vainqueur.

y désigne l'ordonnée du pion ;
N désigne le nombre de parties jouées.

Question 6 : Quel est le rôle de la variable h (ligne 5) ?

Question 7 : A quelle condition le duel s'arrête-t-il ? Déduisez-en la condition à inscrire dans le while (ligne 11).

Question 8 : Quelle instruction inscrire à la ligne 13 ? à la ligne 16 ?